Transformasi Antar Sistem Koordinat

Sistem-sistem Koordinat 

Dalam “dunia” model bisa terdefinisi sejumlah sistem koordinat. Sistem-sistem koordinat tersebut berada dalam skalanya serta titik referensi (origin) dan orientasinya masing-masing. Yang terpenting ialah bahwa suatu sistem koordinat memiliki hubungan geometris dengan sistem koordinat. Lain, dengan kata lain suatu sistem koordinat A bisa dipandang sebagai hasil transformasi geometris sistem koordinat B dan sebaliknya. Tetapi, biasanya di dalam pemodelannya hubungan tersebut hanya direpresentasikan untuk satu arah saja serta secara hirarkis. Biasanya pula, sistem koordinat world dijadikan sisten koordinat paling atas dalam hirarki ini. Pendefinisian sistem-sistem koordinat ini dimaksudkan untuk menyederhanakan deskripsi multi-obyek multi bagian sehingga setiap obyek bahkan bagian obyek dapat memiliki sistem koordinatnya sendiri. Dengan pendefinisian demikian maka suatu obyek atau bagian obyek mengalami transformasi geometris maka representasi obyek atau bagian obyek itu tidak perlu bertransformasi tersebut tetapi cukup hanya sistem koordinatnya saja yang bertransformasi. Keuntungan lainnya adalah bisa terjadi terdapat beberapa obyek dengan bentuk geometris yang sama. Obyek-obyek tersebut direpresentasikan dengan data gemetris yang sama kecuali transformasi dari sistem koordinatnya yang berbeda (serta sejumlah atribut yang lain).

Contohnya dalam sistem koordinat world terdapat suatu rumah dengan sistem koordinatnya sendiri. Sistem koordinat rumah tersebut dinyatakan dalam sistem koordinat world sementara bagian-bagian rumah dinyatakan dalam sistem koordinat rumah tersebut. Di dalam rumah terdapat sejumlah furniture yang dinyatakan dalam sistem koordinatnya masing-masing. Pada lemari terdapat bagian dari lemari yang dapat bergerak sehingga perlu juga deskripsi lemari tersebut berisikan suatu komponen yang memiliki sistem koordinatnya sendiri. Dalam contoh tersebut maka dalam sistem koordinat world terdapat sistem koordinat rumah, mobil, dll. Di dalam sistem koordinat rumah terdapat sejumlah meja, kursi, lemari, alat-alat dapur, elektronis, dll. Pada sistem koordinat lemari terdapat dua pintu lemari serta beberapa laci. Sementara pada sistem koordinat pintu lemari terdapat kunci dan anak kunci. Jika pada contoh masalah di atas semua obyek secara langsung dinyatakan sebagai primitif-primitif grafika dalam sistem koordinat world maka betapa rumitnya untuk melakukan transformasi lemari (misalnya lemari digeser dari satu posisi ke posisi lain). Sistem harus mengetahui primitif mana yang ikut ditransformasikan dan mana yang tidak. Keterhubungan satu bagian dengan bagian yang lain secara ideal harus dinamis misalnya laci lemari bisa dilepaskan dari badan lemarinya.

Formulasi Transformasi Antar Koordinat

Namun pada akhirnya dalam penggambaran di layar kita harus menyatakan seluruh primitif-primitif yang akan digambarkan itu dalam sistem koordinat layar. Jadi kita perlu memiliki transformasi antar sistem koordinat. Jika suatu sistem koordinat B dapat di pandang sebagai hasil transformasi geometris dari sistem koordinat A dengan matriks transformasi M maka setiap titik (xB, yB) yang dinyatakan dalam sistem koordinat B dapat dinyatakan dalam sistem koordinat A sebagai (xA, yA) dalam hubungan persamaan berikut ini.

[xA yA 1]T = M [xB yB 1]T

setiap titik (xA, yA) yang dinyatakan dalam sistem koordinat A dapat dinyatakan dalam sistem koordinat B sebagai (xB, yB) dalam hubungan persamaan berikut ini.

[xB yB 1]T = M-1 [xA yA 1]T

Ingat juga bahwa Untuk M = Mn … M2 M1 maka M-1 = M1-1 M2-1 … Mn-1

Untuk M = R( ) maka M-1 = R( ) Untuk M = T(tx, ty, tz) maka M-1 = R(-tx, -ty, -tz)

Untuk M = S(sx, sy, sz) maka M-1 = S(1/sx, 1/sy, 1/sz)

Sehingga apabila kita mengetahui transformasi-transformasi komponen dari suatu transformasi dengan matriks transformasi M maka matriks transformasi arah kebalikkannya yaitu M-1 mudah didapat tanpa harus melakukan operasi inverse matriks M.

Misalnya suatu sistem koordinat 2D berada pada sistem koordinat world 2D pada posisi (10, 5) dan orientasi 30 maka matriks trasnformasi sistem koordinat ini terhadap sistem koordinat world adalah

M = T(10, 5).R(30 ).

Suatu titik (5, 2) yang dinyatakan pada sistem koordinat ini dinyatakan pada sistem koordinat world sebagai (x, y) dengan [x y 1]T = T(10, 5).R(30 ).[5 2 1]T = T(10, 5). [(5 cos 30 -2 sin 30 ) (5 sin 30 + 2 cos 30 ) 1]T = T(10, 5).[3.33 4.23 1]T = [13.33 9.23 1]T. Jadi titik (5, 2) dalam sistem koordinat tersebut, jika dalam sistem koordinat world menjadi (13.33, 9.23).

Sebaliknya titik (15, 15) pada sistem koordinat world jika dalam koordinat tersebut menjadi (u, v) dimana: [u v 1] T = R(-30 ).T(-10, -5).[15 15 1]T = R(-30 ).[5 10 1]T = [(5 cos -30 -10 sin -30 ) (5 sin -30 + 10 cos -30 ) 1]T = [9.33 6.16 1] T.

Formulasi Matriks Transformasi M Kita sudah ketahui bahwa jika transformasi hanya terdiri atas sejumlah rotasi maka matriks akan berbentuk sebegai berikut (baris keempat dan kolom keempat berharga 0 kecuali pada pojok kanan bawahnya.

Jika vektor-vektor unit (1, 0, 0), (0, 1, 0) dan (0, 0, 1) dalam sistem koordinat B -- masing-masing adalah vektor yang berimpit pada sumbu-sumbu yang berlainan sistem koordinat B -- maka vektor-vektor itu jika dinyatakan dalam sistem koordinat A akan menjadi (m1x, m2x, m3x), (m1y, m2y, m3y), (m1z, m2z, m3z) yan masing-masing adalah matriks kolom dari M tersebut. Dengan hal ini maka kita dapat menghitung matriks transformasi M secara umum jika sistem koordinat B

dinyatakan dengan vektor-vektor unit yang ortogonal (ux, uy, uz), (vx, vy, vz), dan (nx, ny, nz) serta origin berada pada titik (ox, oy, oz) diketahui (semuanya dalam sistem koordinat A).